Линейная функция

Функция вида y = kx + b, где k, b  - действительные числа, x - переменная, называется линейной функцией. В уравнении число k, которое мы умножаем на x, называется коэффициентом наклона или угловым коэффициентом.

Например, в уравнении функции ;
в уравнении функции    ;
в уравнении функции   ;
в уравнении функции   .

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ 

(прямая пропорциональная зависимость и постоянная функция).

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ.

СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ y = kx + b

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ ПО ДВУМ ТОЧКАМ.

СПОСОБ 1.

СПОСОБ 2.

 СПОСОБ 3.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ y = kx + b С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФИКА ФУНКЦИИ y = x.

Этапы преобразования графика.  

 Примеры:

 

Многие реальные ситуации описываются математическими моделями, представляющими собой линейные функции. 
Приведу примеры.
Первая ситуация. На складе было 500 т угля. Ежедневно стали подвозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2, 4, 10 дней?
Если пройдет x дней, то количество у угля на складе (в тоннах) выразится формулой  
у = З0x + 500. 
Таким образом, линейная функция есть математическая модель ситуации.

Теперь нетрудно установить, что: при х = 2 имеем у = 560 (в уравнение у = 30x + 500 подставили х = 2 и получили у = 560);
при х = 4 имеем у = 620;
при х = 10 имеем у = 800. 
 
Вторая ситуация. На складе было 500 т угля. Ежедневно стали увозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2, 4,10 дней?
Здесь математической моделью ситуации является линейная функция у = 500 - З0x. С помощью этой модели нетрудно ответить на вопрос задачи:
если х = 2, то у = 440 (в уравнение у = 500 - З0x подставили х = 2 и получили у = 440); если х = 4, то у = 380;
если х = 10, то у = 200.

Третья ситуация. Турист проехал на автобусе 15 км от пункта А до B, а затем продолжил движение из пункта В в том же направлении, но уже пешком, со скоростью 4 км/ч. На каком расстоянии от А будет турист через 2 ч, через 4 ч, через 5 ч ходьбы?
Математической моделью ситуации является линейная функция у = 15 + 4х, где х — время ходьбы (в часах), у — расстояние от А (в километрах). С помощью этой модели отвечаем на вопрос задачи:
если х = 2, то у = 23 (в уравнение у = 15 + 4x подставили х = 2 и получили у = 23);
если x = 4, то у = 31;
если х = 6, то у = 39.

На самом деле во всех математических моделях этих трех ситуаций допущены неточности, поскольку ничего не сказано о тех ограничениях на х, которые вытекают из смысла задачи. Ведь ясно, что в первой ситуации независимая переменная х может принимать только значения 1, 2, 3, ..., поскольку х — число дней.

Следовательно, уточненная математическая модель первой ситуации выглядит так:
у = 500 + З0x, где х — натуральное число.

Во второй ситуации независимая переменная х, обозначающая, как и в первой ситуации, число дней, может принимать только значения 1, 2, 3, ..., 16. Действительно, если х = 16, то по формуле у = 500 - З0x находим: у = 500 - 30 • 16 = 20. Значит, уже на 17-й день вывезти со склада 30 т угля не удастся, поскольку на складе к этому дню останется всего 20 т и процесс вывоза угля придется прекратить. 

Следовательно, уточненная математическая модель второй ситуации выглядит так:
у = 500 - 30x, где х = 1, 2, 3, .... 16.

В третьей ситуации независимая переменная х теоретически может принять любое неотрицательное значение (напр., значение х = 0, значение х = 2, значение х = 3,5 и т. д.), но практически турист не может шагать с постоянной скоростью без сна и отдыха сколько угодно времени. Значит нужно сделать разумные ограничения на х, скажем, 0 < х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).
Напомню, что геометрической моделью нестрогого двойного неравенства 0 < х < 6 служит отрезок [0, 6].

Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку [0, 6].